Teori Bayes

Teori Bayes atau lebih dikenal dengan kaidah Bayes, memainkan peranan yang sangat penting dalam penerapan probabilitas bersyarat. Teori ini pertama kali dikembangkan oleh Thomas bayes (1702-1763). Kaidah Bayes merupakan kaidah yang memperbaiki atau merevisi suatu probabilitas dengan cara memanfaatkan informasi tambahan. Maksudnya, dari probabilitas awal (prior probability) yang belum diperbaiki dengan rumuskan berdasarkan informasi yang tersedia saat ini, kemudian dibentuklah probabilitas berikutnya (posterior probability).

Teori lain mengatakan Teori Bayes adalah kesimpulan statistik yang membuktikan atau pengamatan yang digunakan untuk memperbarui atau menarik kesimpulan yang baru suatu probabilitas yang mungkin benar. Teori Bayes berasal dari kebiasaan menggunakan rumus bayes untuk memproses suatu kesimpulan/dugaan.

Teori Bayes menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa Xdengan syarat peristiwa Y telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa Y dengan syarat peristiwa X telah terjadi. Hubungan itu dapat diturunkan melalui teori probabilitas bersyarat seperti berikut :

 Kemudian dengan menggunakan teori probabilitas periatiwa bersama, pembilang pada sisi kanan menjadi

 

Dari persamaan terakhir terlihat bahwa  berada pada sisi kiri dan kebalikannya yaitu  berada pada sisi kanan. Namun teori Bayes biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih panjang dengan mengubah penyebutnya kedalam bentuk yang berisi probabilitas bersyarat, karena permasalahannya juga diberikan dalam probabilitas, melalui tahap-tahap sebagai berikut.

 

Bila disubtitusikan kedalam persamaan  diperoleh :

 

Dimana X adalah suatu peristiwa dan X’ adalah pelengkap (komplimennya). Jika peristiwa lain Y terjadi.

Probabilitas yang dihitung P(X|Y) disebut probabilitas kemudian (posterior) dari peristiwa X karena adanya informasi yang dikandung dalam peristiwa Y. probabilitas tak bersyarat P(X) dan P(X’) disebut probabilitas awal (prior) dari peristiwa-peristiwa X dan X. Artinya hokum Bayes memutakhirkan atau memperbaki probabilitas awal P(X) dengan memasukkan ke dalam model informasi yang diamati yang terdapat didalam peristiwa Y.

Teori Bayesian menurut Grainner (1998), mempunyai beberapa kelebihan, yaitu:

1. Mudah untuk dipahami.

2. Hanya memerlukan pengkodean yang sederhana.

3. Lebih cepat dalam penghitungan.

Kekurangan dari Teori probabilitas Bayes yang banyak dikritisi oleh para ilmuwan adalah karena pada teori ini, satu probabilitas saja tidak bisa mengukur seberapa dalam tingkat keakuratannya. Dengan kata lain, kurang bukti untuk membuktikan kebenaran jawaban yang dihasilkan dari teori ini.

TEORI PROBABILITAS (PELUANG)

1 DEFINISI

A. PENDEKATAN KLASIK

Probabilitas/peluang merupakan banyaknya kemungkinan-kemungkinan pada suatu kejadian berdasarkan frekuensinya. Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah:

P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah: P (A) = b/a+b

Contoh:

Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?

Jawab: P (A) = 15/10+15 = 3/5

B. PENDEKATAN SUBYEKTIF

Nilai probabilitas/peluang adalah tepat/cocok apabila hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang bersifat individual (misalnya berdasarkan pengalaman).

C. PENDEKATAN FREKUENSI RELATIF

Nilai probabilitas/peluang ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasi/percobaan (pengumpulan data).

Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: P (A) = a/N

Contoh:

Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

Jawab: P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80

Probabilitas disajikan dengan symbol P, sehingga P(A) menyatakan probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi dalam observasi atau percobaan tunggal, dengan 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Dalam suatu observasi/percobaan kemungkinan kejadian ada 2, yaitu “terjadi (P(A)) atau “tidak terjadi” (P(A)’), maka jumlah probabilitas totalnya adalah P(A) + P(A)’ = 1

2. OPERASI HIMPUNAN PELUANG

A. Irisan (Ç), jika satu atau beberapa peluang pada himpunan A terjadi secara bersama-sama dengan himpunan B.

B. Gabungan (È), jika semua peluang pada himpunan A dan semua peluang pada himpunan B terjadi bersama-sama.

C. Komplemen (X’) suatu kejadian A relative terhadap S adalah semua himpunan S bukan anggota A.

3. JENIS KEJADIAN

A. Berdasarkan peluang terjadinya.

a. Kejadian Saling Meniadakan (Mutually Exclusive), yaitu kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.

Contoh: Hasil Ujian: Lulus vs Tidak lulus

Keadaan : Dingin vs Panas

Cuaca : Hujan vs Tidak Hujan

b. Kejadian Tidak Saling Meniadakan (Non-Mutually Exclusive), yaitu kejadian yang dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.

Contoh: Keadaan vs Cuaca : Dingin vs Tidak hujan

Dingin vs Hujan

Panas vsTidak hujan

Panas vs Hujan

B. Berdasarkan pengaruh/hubungannya

a. Kejadian Independen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas/peluang kejadian yang lain.

b. Kejadian Dependen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian berpengaruh pada probabilitas/peluang kejadian yang lain.

4. PERHITUNGAN NILAI PELUANG

A. HUKUM PENJUMLAHAN

Digunakan apabila kita ingin menghitung probabilitas suatu kejadian tertentu atau yang lain (atau keduanya) yang terjadi dalam suatu percobaan/kejadian tunggal.

Rumus Penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan:

P(A atau B) = P (AÈB) = P(A) + P(B)

Rumus Penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:

1. Dua Kejadian

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) atau

P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB).

2. Tiga Kejadian

P(A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A dan B) – P(A dan C) – P(Bdan C) + P(A dan B dan C) atau P(AÈBÈC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AÇB) – P(AÇC) – P(BÇC) + P(AÇBÇC)

B. HUKUM PERKALIAN

Hukum perkalian untuk kejadian Independen: P(A dan B) = P(AÇB) = P(A) x P(B)

Hukum perkalian untuk kejadian dependen: P(A dan B) = P(A) x P(B) atau

P(A dan B) = P(A x P(B|A) atau P(B dan A) = P(B) x P(A|B)

Contoh:

Berdasarkan pengalaman, sebuah produk susu kaleng yang lulus uji dalam hal berat bersih akan diberi nilai 0.95. Lembaga konsumen membuktikan pernyataan tersebut dengan cara mengukur 3 kaleng dengan sebuah alat ukur tertentu. Dengan asumsi bahwa jika kaleng 1 lulus uji, maka kaleng 2 dan 3 belum tentu lulus, maka tentukan:

a. Berapa probabilitas bahwa ketiga kaleng tsb lulus uji?

b. Berapa probabilitas bahwa hanya dua kaleng yang lulus uji?

c. Berapa probabilitas bahwa tidak ada yang lulus uji?

Jawab:

a. P(3 lulus uji) = P(k1 dan k2 dan k3)

= 0.95 x 0.95 x 0.95 = 0.86

b. P(2 lulus uji) = P(K1 dan K2 dan K3’)+P(K1 dan K2’ dan K3)+P(K1 dan K2 dan K3’)

= (0.95 x 0.95 x0.05) + (0.09 x 0.05 x 0.95 + (0.05 x 0.95 x 0.95)

= 0.14

c. P(tidak ada yang lulus uji) = P(K1’ dan K2’ dan K3’)

= 0.05 x 0.05 x 0.05

= 0.000125

C. PERMUTASI DAN KOMBINASI

a. Permutasi

Merupakan setiap susunan yang berbeda dari sehimpunan obyek (n)

nPr = Permutasi dari n obyek yang diambil

= n!/(n-r)! , dimana n = banyaknya obyek

r =obyek yang diambil

Contoh:

6 karyawan sebuah perusahaan yang harus lulus masa percobaan, 3 diantaranya akan ditugaskan di 3 kota. Berapa kemungkinan susunan yang dapat terjadi berdasarkan 3 kota tersebut.

Jawab: Susunan yang berbeda tentang penempatan

nPr = 6!/(6-3)! = 129

b. Kombinasi

Merupakan himpunan/kumpulan obyek dimana urutan tidak diperhatikan.

nCr = n!/r!(n-r)!